数学史话之古代阿拉伯数学最后的荣光阿尔·卡西

公元5世纪，欧洲进入黑暗的中世纪，一切都笼罩在教条的神学权威之下，没有思想自由。学者遭到迫害，纷纷离开家园，他们向东逃至比较安定的大马士革、巴格达等地，还带去了很多珍贵的文献，这为后来中亚地区文化昌盛做出了贡献。而当15世纪以后，欧洲的大航海运动如火如荼的时候，处在欧亚连接处的中东、西亚的穆斯林地区却开始了文化的崩溃，这种崩溃要比王国的崩溃更加彻底，古代阿拉伯的数学也开始进入了衰落期。今天科普君要讲的正是古代阿拉伯数学最后的荣光，也是古代阿拉伯数学的集大成者--阿尔·卡西（网上居然没有找到卡西的图片）。

阿尔·卡西出生在伊朗的卡尚，确切的出生年份并不清楚，他的活动最早见于文献的是在1406年，那时候他在家乡观测了一次月食。卡西的很多天文著作在完成时都加上了准确的日期，这为我们判断他的活动时间提供了方便。

卡尚

14世纪末到15世纪初的这段时间内，随着蒙古帝国的覆灭，中亚细亚出现了一个成吉思汗的后裔--跛子帖木儿（这个人也是个雄才大略的人，与当时东方大明帝国的皇帝朱棣是同时代人，以后有机会也可以单独讲讲他），他把原来的察合台汗国又统一了起来，并且向外扩张，建立了帖木儿帝国，建都在撒马尔罕。帖木儿的孙子乌鲁伯格是一个科学家，在他还没有继位的时候，就在撒马尔罕兴建了一座当时世界上规模最大的天文台，卡西就是在那段时间进入撒马尔罕的。卡西具体到达撒马尔罕的时间已经不可考了，只知道他在1424年曾经和乌鲁伯格讨论过有关天文台的规划问题。卡西大约于1429年在撒马尔罕去世。后来乌鲁伯格在他的《乌鲁伯格历》中提到了卡西的死，他盛赞卡西是"一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一，通晓古代科学，并推动其发展，能解最困难的问题"。

撒马尔罕

在撒马尔罕期间，卡西完成了一系列他人生中最有价值的著作。1424年，他完成了《圆周论》，1427年，完成了《算术之钥》，还有一本《论弦和正弦》写在《算术之钥》的前面，但是具体时间不可考。

卡西在《圆周论》中详细地介绍了计算圆周率的方法。在卡西之前，圆周率的最精确的数值是由我国南北朝时期的科学家祖冲之在462年发现的，他算出圆周率π的范围是3.1415926<π<3.1415927，在之后的很多个世纪里，祖冲之的圆周率一直保持着世界最高水平，一直到1424年，卡西才打破了这个记录。卡西所使用的方法仍然是求圆内接和外切多边形的周长。他从正六边形开始，每次边数加倍，这一点和阿基米德、刘徽的方法是一样的，但是计算过程各有千秋。卡西通过自己的方式一直算到圆的内接正3·2^28边形的周长，同样又算出了圆的外切正3·2^28边形的周长，最后取二者的算术平均数来做圆周长的近似值，然后再算出π来。最后卡西得出的圆周率的值为π=3.14159265358979325，有17位准确数字，这才打破了祖冲之保持了900年的记录。后来一直到1596年，由德国数学家鲁道夫·范·柯伊伦将数值精确到小数点后20位。

圆周率

卡西的另一项成就就是在数值计算方面给出了sin1°的精确值，这记载在他的《论弦与正弦》一书中。在11世纪的时候，伊斯兰的数学家们已经知道三等分角会导致一个三次方程：ax=b+x^3，卡西创造了一种迭代法，用来求这个方程的近似根。他先假设有一个很小的根，可以忽略方程中的三次幂，这样就得到第一个近似根x1=b/a，然后有第二个近似根x2=(b+x1^3)/a，如此不断迭代，最后得出xn=(b+xn-1^3)/a。卡西的方法，用现代的三角术语来解释就是先求出sin72°，sin60°这些足够精确的数值，然后在利用sin12°=sin(72°-60°)，再利用半角公式算出sin3°，再根据三倍角公式sin3°=3sin1°-4(sin1°)^3，通过不断的迭代，最后算出sin1°的值为0.017452406437283510，这里前16位数字都正确，最后一位才出现误差。

《算术之钥》是卡西著作中篇幅最长的，它几乎网络了当时的全部的数学知识，堪称初等数学之大全。正因为有了这本书，很多阿拉伯的数学才得以保存。另外，这本书除了可以满足一般的学生需要之外，还对于从事实际工作的人，包括天文学家、测量员、建筑师、商人都有帮助。

算术之钥

卡西是中亚地区中世纪最后一名数学家，在他之后，数学的中心又移到了欧洲。古代阿拉伯世界的数学也是非常辉煌的，它继承和发展了古希腊的数学思想，并且揉入了印度和中国的数学思想，产生了非常伟大的阿拉伯数学，为后来欧洲数学的继续发展产生了不可估量的影响。